近日，南京大學(xué)固體微結(jié)構(gòu)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院的陳延峰教授團(tuán)隊(duì)的盧明輝教授課題組與西班牙馬德里先進(jìn)材料研究所的Johan Christensen教授課題組合作共同回顧了光聲經(jīng)典系統(tǒng)中拓?fù)湮锢淼淖钚逻M(jìn)展，并對(duì)該研究方向提供了開(kāi)放性的展望。相關(guān)綜述以“A second wave of topological phenomena in photonics and acoustics”為題發(fā)表于《Nature》期刊上。其他參與撰寫(xiě)的有南京大學(xué)現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院張秀娟副教授、日立ABB電網(wǎng)研究中心Farzad Zangeneh-Nejad博士和南京大學(xué)蘇州校區(qū)功能材料與智能制造研究院陳澤國(guó)副教授。

常規(guī)拓?fù)涔鈱W(xué)和聲學(xué)系統(tǒng)，例如打破時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性的Chern絕緣體、保留時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性并利用自旋軌道耦合實(shí)現(xiàn)的拓?fù)浣^緣體、打破空間（反演、鏡面）對(duì)稱(chēng)性實(shí)現(xiàn)的谷霍爾絕緣體、以及具有奇異能帶簡(jiǎn)并的無(wú)能隙拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、Floquet拓?fù)浣^緣體等，它們的拓?fù)湫再|(zhì)都由基于布洛赫能帶理論的拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行描述和表征。然而，最近的研究表明，在非厄米、非線性、非阿貝爾或存在拓?fù)淙毕莸姆浅Ｒ?guī)系統(tǒng)中，系統(tǒng)哈密頓量的本征能量或本征向量出現(xiàn)復(fù)數(shù)、能帶出現(xiàn)纏繞交織，傳統(tǒng)的布洛赫能帶理論不再適合表征其拓?fù)湫再|(zhì)（見(jiàn)圖1）。隨著大量相關(guān)研究工作的涌現(xiàn)，拓?fù)湮锢碚诮?jīng)歷新一波的發(fā)展浪潮。其中，光/聲學(xué)系統(tǒng)得益于其高度可控的材料設(shè)計(jì)、加工及檢測(cè)平臺(tái)，光子和聲子等玻色子的非平衡態(tài)特性，正在迎來(lái)拓?fù)湮锢淼男乱徊ǖ陌l(fā)展。陳延峰教授和盧明輝教授團(tuán)隊(duì)長(zhǎng)期從事人工微結(jié)構(gòu)材料拓?fù)湮锢淼难芯?，在常?guī)拓?fù)浞矫嫒〉昧朔浅ＸS富的研究成果，例如首次實(shí)現(xiàn)聲拓?fù)浣^緣體；在非常規(guī)拓?fù)湮锢眍I(lǐng)域也積累了較為豐富的研究經(jīng)驗(yàn)，尤其是在非厄米拓?fù)浞矫妫绶嵌蛎譖T對(duì)稱(chēng)、非厄米奇異特性、非厄米趨膚效應(yīng)等。我們注意到非常規(guī)拓?fù)湮锢斫陙?lái)發(fā)展迅速，意識(shí)到對(duì)其進(jìn)行回顧、總結(jié)和展望的必要性和迫切性。本綜述總結(jié)了最具代表性的幾類(lèi)非常規(guī)拓?fù)潴w系，包括非厄米拓?fù)洹⒎蔷€性拓?fù)?、非阿貝爾拓?fù)湟约巴負(fù)淙毕莸确矫娴淖钚逻M(jìn)展，并對(duì)該領(lǐng)域的下一步發(fā)展提供了開(kāi)放性的展望。

(資料圖)

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圖1.（a）常規(guī)拓?fù)浣^緣體的典型能帶結(jié)構(gòu)（上），其拓?fù)湫再|(zhì)通常用非平庸的貝里曲率（下）來(lái)表征。（b）與常規(guī)拓?fù)湎到y(tǒng)不同，一些非厄米系統(tǒng)中的拓?fù)湫再|(zhì)需要由復(fù)能帶繞組（complex energy winding）來(lái)表征。（c）非線性系統(tǒng)中隨著系統(tǒng)輸入功率的增加，能帶結(jié)構(gòu)無(wú)法準(zhǔn)確定義，此時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)可通過(guò)分析傳輸相位及其繞組行為來(lái)進(jìn)行表征。（d）三葉結(jié)繩結(jié)結(jié)構(gòu)（左）、和能帶節(jié)點(diǎn)組成的編織結(jié)構(gòu)（右），可以都用基本群 (the fundamental group) 來(lái)描述，在特定的結(jié)構(gòu)間還具有一定的等價(jià)性。（e）渦旋缺陷，其拓?fù)湫再|(zhì)源自于實(shí)空間中的結(jié)構(gòu)扭曲，無(wú)法用倒空間的能帶性質(zhì)進(jìn)行描述。

非厄米拓?fù)?/strong>

非厄米性代表系統(tǒng)與外界存在著能量交換，這在開(kāi)放系統(tǒng)中十分常見(jiàn)。非厄米系統(tǒng)具有復(fù)數(shù)本征值和非正交的本征向量，這導(dǎo)致了一些有趣的非厄米拓?fù)湮锢憩F(xiàn)象，這些現(xiàn)象展現(xiàn)出與厄米體系拓?fù)湫?yīng)完全不同的特征。本節(jié)將對(duì)這些新奇的現(xiàn)象進(jìn)行較為系統(tǒng)地評(píng)述。

與厄米系統(tǒng)類(lèi)似，分析非厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)依然依賴(lài)能帶和帶隙的概念。對(duì)于非厄米系統(tǒng)，其復(fù)平面上本征能譜的帶隙以線狀或點(diǎn)狀的方式分布，對(duì)應(yīng)兩種基本類(lèi)型：如果系統(tǒng)的非厄米哈密頓量的復(fù)能譜被一條基線隔開(kāi)，那么就說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)具有線帶隙；如果存在一個(gè)復(fù)能量基點(diǎn)EB滿足 [H(k)?EB]≠0[H(k)表示系統(tǒng)哈密頓量，k代表布里淵區(qū)里的任意波矢]，那么就說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)具有點(diǎn)帶隙（具體示例見(jiàn)下方Box）。

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Box. 非厄米帶隙。考慮兩種周期性格子，其非厄米性分別來(lái)源于原位增益/損耗（a）或者非對(duì)稱(chēng)耦合（b），前者會(huì)出現(xiàn)線帶隙，可進(jìn)一步分為實(shí)帶隙和虛帶隙（c），后者出現(xiàn)特殊的點(diǎn)帶隙（d）。

任何具有線帶隙的非厄米哈密頓量都可以連續(xù)變換成厄米（對(duì)應(yīng)實(shí)帶隙）或者反厄米（對(duì)應(yīng)虛帶隙）矩陣，相應(yīng)的非厄米系統(tǒng)繼承了其厄米系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，因此這類(lèi)型的非厄米拓?fù)洳蛔兞靠梢栽诙蛎淄負(fù)洳蛔兞康幕A(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后得到。不同之處在于非厄米系統(tǒng)中的邊界態(tài)由于非厄米作用會(huì)經(jīng)歷放大或損耗 (注意，在PT對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)中，它們可能仍為實(shí)模式)。非厄米邊界態(tài)啟發(fā)了光聲經(jīng)典波領(lǐng)域的一系列研究，例如利用非厄米拓?fù)溥吔鐟B(tài)放大的特征可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)浼す?(圖2a)。研究發(fā)現(xiàn)，得益于其拓?fù)漪敯粜缘膬?yōu)勢(shì)，非厄米拓?fù)溥吔鐟B(tài)在激射過(guò)程中表現(xiàn)出功率密度的增強(qiáng)和高穩(wěn)定性。拓?fù)浼す獾难芯坎粌H在光學(xué)中廣泛開(kāi)展，在聲學(xué)中，人們也嘗試?yán)秒姛崧曬詈蠈?shí)現(xiàn)聲學(xué)拓?fù)鋺B(tài)的增益 (圖2b)。

與線帶隙不同，零維的點(diǎn)帶隙具有非常特殊的本征能量繞組（見(jiàn)Box），這產(chǎn)生了非厄米系統(tǒng)獨(dú)有的能帶拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并導(dǎo)致了許多有趣的現(xiàn)象，例如非厄米趨膚效應(yīng)、復(fù)能帶編織、以及無(wú)帶隙的非厄米奇異特性等。非厄米趨膚效應(yīng)是一種在非厄米驅(qū)動(dòng)下系統(tǒng)所有的（或部分的）本征態(tài)局域在邊界處的效應(yīng)，它的拓?fù)涓凑菑?fù)能帶的繞組。光學(xué)和聲學(xué)系統(tǒng)充分發(fā)揮了其材料平臺(tái)的優(yōu)勢(shì)，提出了實(shí)現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)的各種方法。例如，將時(shí)間調(diào)制應(yīng)用到光纖環(huán)路，可以獲得光子的不對(duì)稱(chēng)耦合從而產(chǎn)生非厄米趨膚效應(yīng)。受這一效應(yīng)調(diào)制，光波發(fā)生不對(duì)稱(chēng)傳輸進(jìn)而匯集到指定的邊界位置（圖2c）。

一般情況下，能帶的扭曲和編織（圖2d）與點(diǎn)帶隙的能量繞組相關(guān)。然而，最近的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于具有多條能帶的非厄米系統(tǒng)，多帶性質(zhì)使得只有小部分能帶編織具有明確定義的點(diǎn)或線帶隙。針對(duì)此，研究人員提出了同倫理論，利用編織群提供了更一般的非厄米能帶表征，完善了點(diǎn)和線帶隙的表征方法?；谶@一方法，人們發(fā)現(xiàn)復(fù)能帶的扭曲和編織能形成編織群，甚至攜帶有非阿貝爾特征（更多討論見(jiàn)非阿貝爾物理小節(jié)）。

另一個(gè)非厄米拓?fù)涞男屡d分支是無(wú)帶隙非厄米簡(jiǎn)并。與厄米的簡(jiǎn)并不同，非厄米簡(jiǎn)并通常表現(xiàn)出奇異特性（exceptional characteristics）。例如，圖2e展示了將散射損耗引入到光波導(dǎo)陣列中時(shí)，原本系統(tǒng)支持的厄米外爾點(diǎn)變成了非厄米外爾奇異環(huán)，其上所有能量本征值和本征向量同時(shí)塌縮。結(jié)合多種晶格對(duì)稱(chēng)性，非厄米簡(jiǎn)并可以以多種形式具象，例如奇異點(diǎn)、奇異線、奇異環(huán)、甚至更復(fù)雜的奇異鏈等。這些奇異特征同樣屬于非厄米能帶拓?fù)涞姆懂牐梢酝ㄟ^(guò)點(diǎn)/線帶隙或同倫理論來(lái)進(jìn)行表征。

綜上，非厄米性與拓?fù)湎嗟慕Y(jié)合是光/聲拓?fù)溲芯恐幸粋€(gè)蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域，人工結(jié)構(gòu)的高度可設(shè)計(jì)性也將進(jìn)一步促進(jìn)其基礎(chǔ)和應(yīng)用研究。

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圖2. 非厄米拓?fù)洮F(xiàn)象。（a）光學(xué)拓?fù)浼す馄鳌＃╞）聲學(xué)非厄米拓?fù)湮⑶?。（c）在具有不對(duì)稱(chēng)耦合和非厄米點(diǎn)帶隙的系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng)。（d）在光學(xué)系統(tǒng)中，基于振幅和相位調(diào)制器實(shí)現(xiàn)非厄米復(fù)能帶的編織。（e）將散射損耗引入光螺旋波導(dǎo)陣列中，原本無(wú)損耗時(shí)的厄米外爾點(diǎn)擴(kuò)展成了非厄米的外爾奇異環(huán)。

非線性拓?fù)?/strong>

大多數(shù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都具有一個(gè)共同的特性：系統(tǒng)是線性的，即服從所謂的疊加原理。然而，非線性在許多物理系統(tǒng)中廣泛存在，它可以導(dǎo)致許多有趣的效應(yīng)，例如諧波生成、自聚焦和孤子傳播。系統(tǒng)中非線性的存在對(duì)拓?fù)湎嗉捌溥吔鐟B(tài)的理論理解提出了挑戰(zhàn)，這是因?yàn)楫?dāng)非線性變強(qiáng)時(shí)，周期性結(jié)構(gòu)的模態(tài)解不能再使用類(lèi)布洛赫函數(shù)來(lái)表征，以至于不能準(zhǔn)確定義能帶結(jié)構(gòu)和拓?fù)洳蛔兞?。這些特征啟發(fā)和促進(jìn)了非線性拓?fù)湮锢淼膹V泛發(fā)展。

與傳統(tǒng)的線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相比，非線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了有趣的可重構(gòu)性。此類(lèi)拓?fù)湎到y(tǒng)的非線性行為意味著其邊界態(tài)的動(dòng)力學(xué)依賴(lài)于激發(fā)強(qiáng)度，通過(guò)調(diào)節(jié)外部泵浦能量強(qiáng)度，不僅可以控制拓?fù)湎嘧?，還可以控制相應(yīng)帶隙內(nèi)邊界態(tài)的特征。這一特質(zhì)可能為下一代具有拓?fù)涮匦缘目芍貥?gòu)光學(xué)和聲學(xué)設(shè)備提供啟發(fā)。

圖3a展示了一個(gè)由非線性誘導(dǎo)的光學(xué)拓?fù)浣^緣體的例子，它是基于具有交替的線性和非線性耦合光波導(dǎo)形成的二分方晶格。非線性耦合是通過(guò)在光波導(dǎo)的有效折射率之間引入失諧來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這迫使一定比例的光始終留在最初激發(fā)的波導(dǎo)中，從而導(dǎo)致克爾型非線性。在線性狀態(tài)（低功率）時(shí)，晶格結(jié)構(gòu)是拓?fù)淦接沟?，隨著光功率的增加，系統(tǒng)被驅(qū)動(dòng)到高于某個(gè)功率閾值的拓?fù)浞瞧接範(fàn)顟B(tài)，拓?fù)溥吔鐟B(tài)隨之產(chǎn)生，如圖3b所示。除光學(xué)系統(tǒng)外，非線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在聲學(xué)、機(jī)械平臺(tái)等領(lǐng)域也有研究。

圖3a中描述的結(jié)構(gòu)由無(wú)源元件制成，其特征對(duì)應(yīng)于厄米拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。最近，非線性拓?fù)浣^緣體的概念已擴(kuò)展到非厄米系統(tǒng)領(lǐng)域，表現(xiàn)出如PT對(duì)稱(chēng)性等有趣現(xiàn)象。與厄米情況類(lèi)似，非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)中的非線性效應(yīng)可以被當(dāng)作調(diào)節(jié)旋鈕來(lái)控制PT對(duì)稱(chēng)性和相應(yīng)的非厄米拓?fù)溥吔鐟B(tài)的性質(zhì)。例如，研究人員基于增益和損耗波導(dǎo)以及界面缺陷組成非厄米SSH晶格，發(fā)現(xiàn)引入光學(xué)非線性可以改變波導(dǎo)折射率的實(shí)部，從而能夠有效控制非厄米SSH晶格的增益和損耗，使系統(tǒng)在PT對(duì)稱(chēng)和PT破缺狀態(tài)之間切換，并伴隨著拓?fù)淞隳苣Ｊ降钠茐暮突謴?fù)，如圖3c所示。

與非線性拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)的另一個(gè)有趣現(xiàn)象是與拓?fù)溥吔鐟B(tài)共存的孤子波，這一現(xiàn)象一般發(fā)生在當(dāng)非線性效應(yīng)補(bǔ)償系統(tǒng)中的色散效應(yīng)時(shí)。圖3d展示了基于周期性調(diào)制的光波導(dǎo)陣列中，在非線性存在的情況下，光學(xué)克爾效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致光孤子波的形成，后者可以在不改變形狀的情況下沿著拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的邊界進(jìn)行傳播。拓?fù)溥吔绻伦邮欠蔷€性系統(tǒng)中特有的模式，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)線性系統(tǒng)中的能帶拓?fù)鋪?lái)表征，其拓?fù)涮匦约胺诸?lèi)還需進(jìn)一步研究。

此外，以非平庸體極化為特征的非線性拓?fù)湎到y(tǒng)向更高階擴(kuò)展也是一個(gè)新興方向，其中二階非線性拓?fù)湎嘁呀?jīng)在理論上被提出，并在基于菱形kagome晶格組成的光學(xué)系統(tǒng)中得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。如圖3e所示，這類(lèi)非線性二階拓?fù)浣^緣體支持無(wú)帶隙角態(tài)，可以通過(guò)系統(tǒng)的輸入功率進(jìn)行調(diào)控，有望在能量收集和非線性激射等方面產(chǎn)生應(yīng)用。

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圖3. 非線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。（a）二維非線性光學(xué)拓?fù)浣^緣體，其非線性是基于具有失諧折射率的耦合光波導(dǎo)予以實(shí)現(xiàn)。（b）在低功率狀態(tài)下，光衍射到晶格內(nèi)部；對(duì)于高輸入功率值，系統(tǒng)發(fā)生拓?fù)湎嘧?，變成拓?fù)浞瞧接瓜?，出現(xiàn)手性邊界通道。（c）基于耦合光波導(dǎo)的非厄米拓?fù)銼SH模型，其中非線性控制系統(tǒng)的增益和損耗，使其在PT對(duì)稱(chēng)和非PT對(duì)稱(chēng)狀態(tài)之間切換，并伴隨著具有增益（左）和損耗（右）界面的拓?fù)淞隳苣Ｊ降钠茐暮突謴?fù)。（d）沿Floquet 拓?fù)浣^緣體的邊緣形成的光孤子波。（e）在二階拓?fù)浣^緣體的拐角處形成非線性引起的角態(tài)。

非阿貝爾物理

能帶拓?fù)湟痍P(guān)注與興趣的核心在于其魯棒的邊界響應(yīng)上，談及魯棒性，日常生活中能展示魯棒性的還包括繩結(jié)結(jié)構(gòu)。繩結(jié)結(jié)構(gòu)可由一組復(fù)雜的繩結(jié)不變量描述，在數(shù)學(xué)上可應(yīng)用基本群理論對(duì)繩結(jié)余空間 (knot completement) 進(jìn)行分類(lèi)，而最常見(jiàn)的三葉節(jié)繩結(jié)群就是非阿貝爾的。非阿貝爾群以群乘法運(yùn)算的非交換性為特征，在物理學(xué)中普遍存在。本節(jié)簡(jiǎn)要評(píng)述了近年來(lái)經(jīng)典波系統(tǒng)中關(guān)于非阿貝爾結(jié)構(gòu)（包括非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)、非阿貝爾幾何相、非阿貝爾拓?fù)浜膳c能帶中的繩結(jié)結(jié)構(gòu)）的最新研究。

引入非阿貝爾運(yùn)算的一個(gè)常見(jiàn)例子是在三維空間中圍繞x軸和y軸進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，將此旋轉(zhuǎn)操作類(lèi)比為規(guī)范操作且映射到物理量中，可以實(shí)現(xiàn)非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)。例如，考慮希爾伯特空間正交的兩個(gè)簡(jiǎn)并光學(xué)模式，利用含時(shí)調(diào)制與法拉第效應(yīng)這兩種打破時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性的效應(yīng)去實(shí)現(xiàn)光學(xué)模式在希爾伯特空間的旋轉(zhuǎn)，分別對(duì)應(yīng)于圖4（a）的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)算符以實(shí)現(xiàn)非阿貝爾的規(guī)范場(chǎng)。編織是另一種有望實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)拓?fù)淞孔佑?jì)算的非阿貝爾運(yùn)算，在二維中交換兩個(gè)任意子可以模擬編織操作，當(dāng)涉及三個(gè)或更多任意子時(shí)，該編織操作是非阿貝爾的。然而迄今為止，任意子的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)方面仍然存在相當(dāng)大的技術(shù)挑戰(zhàn)。有趣的是，參數(shù)空間中兩個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)沿著球體八分之一表面的平行傳輸可以實(shí)現(xiàn)類(lèi)比于任意子交換的“態(tài)的交換”，再現(xiàn)了編織操作。在聲學(xué)和激光直寫(xiě)波導(dǎo)陣列中可以通過(guò)多個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)的絕熱演化來(lái)復(fù)現(xiàn)非阿貝爾幾何相，從而生成幺正群以及編織群（圖4b）。在經(jīng)典系統(tǒng)中，單純的手征對(duì)稱(chēng)保護(hù)的模式簡(jiǎn)并是非常脆弱的，為了規(guī)避結(jié)構(gòu)缺陷的影響，有望通過(guò)可調(diào)的外部場(chǎng)來(lái)動(dòng)態(tài)地驅(qū)動(dòng)簡(jiǎn)并模式。即使沒(méi)有完美的簡(jiǎn)并模式，多態(tài)演化也會(huì)引入非阿貝爾行為，例如非阿貝爾Thouless泵浦，其非阿貝爾性質(zhì)源自三個(gè)狀態(tài)之間兩個(gè)不同泵浦循環(huán)的組合。非阿貝爾幾何相位也存在于自對(duì)偶的機(jī)械系統(tǒng)中，這會(huì)影響波包的傳播并導(dǎo)致非交換的機(jī)械響應(yīng)。此外，在非厄米系統(tǒng)中圍繞多個(gè)奇異點(diǎn)的狀態(tài)交換也可以形成復(fù)能帶的拓?fù)渚幙?，其中不同結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的能譜已經(jīng)被觀察到。置換群也可以是非阿貝爾的，圍繞奇異點(diǎn)的閉環(huán)操作通常伴隨著態(tài)的置換，如圖4c展示了置換形成的非阿貝爾二面體群。

除了探索基于態(tài)操縱的非阿貝爾現(xiàn)象外，研究人員還重新審視了能帶物理中的拓?fù)洳蛔兞?，并發(fā)現(xiàn)了其也可能具有非阿貝爾結(jié)構(gòu)。 單個(gè)帶隙或帶節(jié)點(diǎn)可以用拓?fù)洳蛔兞縼?lái)表征，對(duì)稱(chēng)性的引入進(jìn)一步豐富了其分類(lèi)，其拓?fù)洳蛔兞繗w為阿貝爾群。 基于阿貝爾群性質(zhì)的常識(shí)認(rèn)為，帶和帶隙拓?fù)渫ㄟ^(guò)簡(jiǎn)單的加減法相互聯(lián)系，然后其中一個(gè)自然推論就是相反手征的外爾點(diǎn)聚在一起可以湮滅。 但是，如果考慮基于多能帶的拓?fù)浼m纏，上面的結(jié)論就有待商榷了。

與Dirac或Weyl點(diǎn)相關(guān)的拓?fù)湫?yīng)，通常以阿貝爾的拓?fù)洳蛔兞繛樘卣鳎?然而，通過(guò)考慮具有多能帶組成的節(jié)點(diǎn)線金屬，研究者發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著非阿貝爾特性。在特定對(duì)稱(chēng)性保護(hù)下，存在某規(guī)范可以使得態(tài)可用純實(shí)數(shù)描述。如此，對(duì)這些態(tài)空間進(jìn)行分類(lèi)可以更好地適用基本群理論現(xiàn)有的結(jié)論，其態(tài)空間基本群可以是阿貝爾群或非阿貝爾群，與所涉及的能帶數(shù)目有相關(guān)性（圖4d）。綜合考慮多能帶引起的非阿貝爾特性會(huì)涌現(xiàn)出一些不同的現(xiàn)象，包括一維系統(tǒng)中Zak相描述之外的非平庸帶隙和相應(yīng)邊界態(tài)，以及二維系統(tǒng)中的非阿貝爾能帶節(jié)點(diǎn)和歐拉類(lèi)（Euler Class）。在三維上，利用基本群可以預(yù)測(cè)各種可容許的節(jié)線構(gòu)型，例如節(jié)點(diǎn)鏈、節(jié)點(diǎn)環(huán)和節(jié)點(diǎn)耳環(huán)等等，以及它們之間的互相轉(zhuǎn)化規(guī)律。比如，非阿貝爾拓?fù)渑c空間對(duì)稱(chēng)性的相互作用使得成對(duì)的外爾點(diǎn)可能會(huì)分散或轉(zhuǎn)化為節(jié)線環(huán)。

可以看出，上述提到的非阿貝爾群，往往出現(xiàn)在全局系統(tǒng)的研究中，綜合考慮了波動(dòng)系統(tǒng)中內(nèi)稟自由度、與外場(chǎng)相互作用、高維參數(shù)空間與能帶空間的聯(lián)合作用等。其豐富的內(nèi)在結(jié)構(gòu)必將引出大量待探索的研究方向。例如，不同于著名的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系，非阿貝爾拓?fù)渲畜w-邊對(duì)應(yīng)的問(wèn)題尚未解決。雖然已有實(shí)驗(yàn)工作暗示其體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系可能由非阿貝爾群的群乘法決定，但是這只是討論了一維情形，高維情形的推廣尚未可知，并且其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明仍然是一個(gè)挑戰(zhàn)。

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圖4. 非阿貝爾波動(dòng)物理，算符的不可交換性形成了非阿貝爾結(jié)構(gòu)。（a）SU(2)群，其中含時(shí)調(diào)制和法拉第效應(yīng)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)算符。（b）編織群，其中沿著某些參數(shù)循環(huán)的狀態(tài)演化表現(xiàn)為編織算子。（c）置換群，其中在非厄米系統(tǒng)中交換的本征態(tài)表現(xiàn)為置換算符。（d）與阿貝爾拓?fù)洳蛔兞勘碚鞯碾p帶模型相比，具有實(shí)本征態(tài)的多帶模型涉及到非阿貝爾能帶拓?fù)?，圖中符號(hào)表示由非阿貝爾群元素表征的能帶節(jié)點(diǎn)。

拓?fù)淙毕?/strong>

當(dāng)局部缺陷被引入到拓?fù)渚Ц裰?，而整體的晶格對(duì)稱(chēng)性并沒(méi)有被破壞時(shí)，邊界態(tài)或角態(tài)依然存在。在本節(jié)中，我們關(guān)注的不是局部缺陷，而是原本完美晶體中的拓?fù)淙毕?。這些拓?fù)淙毕萦捎谠谟行蚪Y(jié)構(gòu)中構(gòu)成局部扭結(jié)或障礙物，因此不能通過(guò)晶格重排或連續(xù)變形來(lái)修復(fù)。通常，拓?fù)淙毕莅粋€(gè)序列被破壞的核心和一個(gè)緩慢變化的外部區(qū)域，可以根據(jù)破壞的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型來(lái)標(biāo)記缺陷。例如，旋錯(cuò)和位錯(cuò)分別破壞了旋轉(zhuǎn)和平移晶格對(duì)稱(chēng)性，并且在自然界中廣泛存在。斑馬的條紋圖案就包含這兩種缺陷類(lèi)型：在其四肢周?chē)鷹l紋方向的變化中可以看到旋錯(cuò)（紅框），而在新條紋分裂的地方存在位錯(cuò)（藍(lán)框），如圖5a所示。除此之外，還有其他典型的拓?fù)淙毕?，比如多晶石墨烯中晶體之間的拓?fù)渚€缺陷即晶界，以及在拓?fù)涑瑢?dǎo)體中可以將Majorana束縛態(tài)束縛在渦旋核的拓?fù)錅u旋等。

與前文所述非常規(guī)拓?fù)湎到y(tǒng)類(lèi)似，拓?fù)淙毕菹到y(tǒng)的特征也無(wú)法用常規(guī)的基于倒空間中布洛赫能帶理論進(jìn)行表征。例如，超流體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體中的渦旋缺陷不會(huì)被有序參數(shù)連續(xù)變形破壞，具有拓?fù)湫再|(zhì)，這與非平庸拓?fù)浣^緣體中非零的貝里相具有相似的起源，然而這兩者的表征卻大不相同，蓋因前者并無(wú)周期性的概念，其拓?fù)湫再|(zhì)需要用實(shí)空間繞組數(shù)來(lái)進(jìn)行表征。又如，通過(guò)在周期系統(tǒng)中加入結(jié)構(gòu)渦旋，可以打開(kāi)帶隙，并產(chǎn)生零能態(tài)，這一零能態(tài)束縛于渦旋中心處，這就是經(jīng)典的Jackiw-Rossi模型。借鑒這一拓?fù)錅u旋的產(chǎn)生原理，研究人員利用3D打印制作聲學(xué)類(lèi)石墨烯晶格，進(jìn)一步通過(guò)引入Kekulé結(jié)構(gòu)渦旋，實(shí)現(xiàn)了聲拓?fù)錅u旋態(tài)，這一聲學(xué)態(tài)同樣束縛于渦旋的中心，并攜帶非平庸的角相位繞組（圖5b）。類(lèi)似的方法被應(yīng)用于固體聲波系統(tǒng)中，研究人員在鋼板上按照Kekulé結(jié)構(gòu)渦旋排列螺栓，實(shí)現(xiàn)了基于彎曲振動(dòng)模式的固體聲渦旋。在光學(xué)系統(tǒng)中，人們通過(guò)飛秒激光直寫(xiě)技術(shù)加工波導(dǎo)晶格、利用電子束光刻技術(shù)在硅片上刻蝕三角穿孔，分別在通信波段上產(chǎn)生近紅外拓?fù)淞隳苣Ｊ胶偷依藴u旋拓?fù)淝幻姘l(fā)射激光器。

最近，研究人員發(fā)現(xiàn)，旋錯(cuò)缺陷的起源與完美晶體（即沒(méi)有旋錯(cuò)的晶體）的拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)，并由此提出了體-旋錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān)系，它將完美晶體的體拓?fù)湫再|(zhì)與實(shí)空間拓?fù)淙毕萋?lián)系起來(lái)。這一發(fā)現(xiàn)表明，從廣義上講，拓?fù)渚w絕緣體的量子化現(xiàn)象不僅體現(xiàn)在完美晶體的邊界處（對(duì)應(yīng)常規(guī)的拓?fù)溥吔鐟B(tài)和角態(tài)的出現(xiàn)），還能體現(xiàn)在表征旋錯(cuò)缺陷旋轉(zhuǎn)和平移性質(zhì)的Frank角和伯格斯矢量上，后者可以用旋錯(cuò)處的分?jǐn)?shù)電荷予以表征。人們發(fā)現(xiàn)在由四方晶格引入缺陷形成的旋錯(cuò)中，其拓?fù)淙毕輵B(tài)攜帶以e/4為單位量的分?jǐn)?shù)電荷；而在由六方晶格形成的旋錯(cuò)中，拓?fù)淙毕輵B(tài)攜帶以e/6為單位量的分?jǐn)?shù)電荷（圖5c）。這里，e表示單位電荷。值得注意的是，在光/聲學(xué)等經(jīng)典系統(tǒng)中，電荷這一概念實(shí)際上表征的是模式的局域態(tài)密度在頻譜上的積分截?cái)唷?/p>

除二維系統(tǒng)中的缺陷外，三維系統(tǒng)同樣存在拓?fù)淙毕荨Ｈ鐖D5d所示，研究人員通過(guò)將層狀堆疊的二維拓?fù)浣^緣體進(jìn)行切割和粘合，在三維空間中構(gòu)造出螺旋缺陷，其上束縛有螺旋位錯(cuò)模式。除上述位錯(cuò)缺陷外，其他有趣的拓?fù)淙毕葸€包括疇壁和分形結(jié)構(gòu)等。拓?fù)淙毕莸难芯?，作為?shí)空間拓?fù)渑c倒空間拓?fù)涞拿浇?，綜合考慮了兩種拓?fù)涞南嗷プ饔?，可以在波的局域性操控上提供新的思路?/p>

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圖5. 拓?fù)淙毕?。（a）斑馬條紋中的拓?fù)湫e(cuò)（紅框）和位錯(cuò)（藍(lán)框）。（b）在聲學(xué)系統(tǒng)中基于Kekulé結(jié)構(gòu)渦旋構(gòu)造的聲學(xué)Jackiw-Rossi型拓?fù)淙毕荨＃╟）基于四方和六角晶格形成的拓?fù)湫e(cuò)分別攜帶以e/4和e/6為單位量的分?jǐn)?shù)電荷。（d）通過(guò)切割-粘合二維堆疊拓?fù)浣^緣體形成的三維螺旋位錯(cuò)。

本論文總結(jié)了在光聲經(jīng)典波領(lǐng)域，基于人工微結(jié)構(gòu)材料的非厄米拓?fù)?、非線性拓?fù)洹⒎前⒇悹柾負(fù)湟约巴負(fù)淙毕菅芯康淖钚逻M(jìn)展。這些非常規(guī)物理與拓?fù)湎嗟慕Y(jié)合產(chǎn)生了許多前所未有的特性與現(xiàn)象，但在理論解釋、性質(zhì)探索和應(yīng)用研究等方面還有許多亟待解決的問(wèn)題，值得人們進(jìn)一步探索。對(duì)光聲經(jīng)典波領(lǐng)域的拓?fù)湎嗟幕A(chǔ)物理和各種效應(yīng)進(jìn)行研究，不僅加深了人們對(duì)于拓?fù)湓韺?dǎo)致的波動(dòng)物理新現(xiàn)象的理解，也將促進(jìn)光波、微波、太赫茲波、等離激元波以及聲波、機(jī)械波等波動(dòng)效應(yīng)在工程領(lǐng)域的新應(yīng)用。期待這些非常規(guī)物理和拓?fù)湮锢淼慕Y(jié)合會(huì)驅(qū)動(dòng)光聲經(jīng)典波領(lǐng)域的拓?fù)湮锢硌芯康男吕顺薄?/p>