2023-06-23 12:54:13 來源 : 博客園
【資料圖】
本文簡要的介紹了卡方分布、卡方概率密度函數(shù)和卡方檢驗，并通過SPSS實現(xiàn)了一個卡方檢驗例子，不僅對結(jié)果進行了解釋，而且還給出了卡方、自由度和漸近顯著性的計算過程。本文用到的數(shù)據(jù)"2.2.sav"鏈接為: https://url39.ctfile.com/f/2501739-875711187-f3dbb8?p=2096 (訪問密碼: 2096)
一.卡方分布卡方分布是一種概率分布，若\(k\)個隨機變量\(Z_1、......、Z_k\)是相互獨立且符合標準正態(tài)分布的隨機變量（數(shù)學期望為0、方差為1），那么隨機變量\(Z\)的平方和\(X = \sum\limits_{i = 1}^k {Z_i^2}\)被稱為服從自由度為\(k\)的卡方分布，記作：\(X \sim {\chi ^2}\left( k \right)\)。
二.卡方概率密度函數(shù)卡方分布的概率密度函數(shù)為：
\[{f_x}\left( x \right) = \frac{1}{{{2^{\frac{k}{2}}}\Gamma \left( {\frac{k}{2}} \right)}}{x^{\frac{k}{2} - 1}}{e^{\frac{{ - x}}{2}}}\]其中，\(x \ge 0\)，當\(x \le 0\)時\({f_x}\left( x \right) = 0\)，\(\Gamma\)表示Gamma函數(shù)。不同自由度情況下的卡方分布概率密度曲線圖：隨著自由度\(k\)的增加，曲線逐漸趨于對稱。當自由度\(k\)趨近于無窮時，卡方分布趨近正態(tài)分布。
三.卡方檢驗卡方檢驗是非參數(shù)檢驗，以卡方分布為理論依據(jù)的假設檢驗方法，基本原理是通過樣本的頻數(shù)分布來推斷總體是否服從某種理論分布。卡方檢驗的原假設為：樣本所屬總體的分布與理論分布之間不存在顯著差異?？ǚ綑z驗的檢驗統(tǒng)計量方程為：
\[{\chi ^2} = \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{{\left( {{M_{oi}} - {M_{ei}}} \right)}^2}}}{{{M_{ei}}}}}\]\(\chi ^2\)統(tǒng)計量在大樣本條件下逐漸服從自由度為\(k-1\)的卡方分布，\(M_{oi}\)表示觀測頻數(shù)，\(M_{ei}\)表示理論頻數(shù)。\({\chi ^2}\)統(tǒng)計量越小，表示觀測頻數(shù)與理論頻數(shù)越接近。如果小于由顯著性水平和自由度確定的臨界值，那么認為樣本所屬的總體分布與理論分布無顯著差異。
四.卡方檢驗例子實驗目的：想知道不同年齡組的樣本個數(shù)是否存在顯著差異。如果\(p>0.05\)，那么接受原假設，即不同年齡組的樣本個數(shù)并不存在顯著不同。變量視圖如下所示：數(shù)據(jù)視圖如下所示：分析->非參數(shù)檢驗->舊對話框->卡方：卡方檢驗結(jié)果如下所示：重點說明下卡方、自由度和漸近顯著性是如何計算的：1.卡方計算
\[\frac{{{{\left( {45 - 50} \right)}^2}}}{{50}} + \frac{{{{\left( {51 - 50} \right)}^2}}}{{50}} + \frac{{{{\left( {52 - 50} \right)}^2}}}{{50}} + \frac{{{{\left( {52 - 50} \right)}^2}}}{{50}} = \frac{{25 + 1 + 4 + 4}}{{50}} = \frac{{34}}{{50}} = 0.68\]2.自由度計算\(k-1\)，\(k\)表示分類變量數(shù)。3.漸近顯著性計算漸近顯著性就是\(p\)值，\(p=1-F(卡方值,自由度)\)。使用Python代碼計算：
from scipy.stats import chi2# 第1個參數(shù)表示卡方值，第2個參數(shù)表示自由度p = 1 - chi2.cdf(0.68, 3)print(p) # 0.8778977619609463在平時看的醫(yī)學論文中，比較常見的場景是根據(jù)卡方檢驗來計算患者組和對照組的性別是否具有顯著性差異：
參考文獻：[1]卡方分布：https://zh.wikipedia.org/zh-hans/卡方分布[2]《SPSS統(tǒng)計分析入門與應用精解》[3]卡方檢驗：https://www.ibm.com/docs/zh/spss-statistics/28.0.0?topic=tests-chi-square-test[4]數(shù)據(jù)2.2.sav: https://url39.ctfile.com/f/2501739-875711187-f3dbb8?p=2096 (訪問密碼: 2096)
